「意味」ぎりぎりまで，最後まで，土壇場まで
※last minuteは「最後の（last）瞬間（minute）」という意味で，よく使います．
これにuntilを付けたのがuntil the last minuteですが，よくある使い方としては以下の二つがあります．
wait until the last minute「ぎりぎりまで待つ」
not .... until the last minute「ぎりぎりまで．．．しない」
「英語例文」
Don't wait until the last minute.「ぎりぎりまで待つな。」