Let me see what I can do.

「意味」何ができるかちょっと見てみます（調べてみます）。やるだけやってみます。

※相手から「何とかしてくれ」などと頼まれた時の返答によく使う決まり文句です。

「結果は保証できないけれども、やるだけやってみる」という意味で、「何とかする」と約束しているわけではありません。

「英会話例文」
A: I need three million dollars by this weekend.「A：今週末までに３００万ドル必要なんだ。」
B: Hold on a second. Let me see what I can do. 「B：少々お待ちください。やるだけやってみます。」

I'm slaving away at work.

「意味」私は仕事にかかりっきりだ。

※slaveには「奴隷」という名詞の意味のほか、「奴隷のようにあくせく働く」という動詞の意味があります。

I'mやworkは他のものにかえて使うことができます。たとえば、

He's slaving away at the computer.「彼はそのコンピュータにかかりっきりだ。」

I had a lovely time.; We had a lovely time.; I've had a lovely time.; We've had a lovely time.

「意味」とても楽しかったです。

※パーティなどで帰る際に使うていねいなフレーズで、招待してくれたホストに対するお礼として使います。

この場合のlovelyは「愉快な」，「楽しい」などの意味です。

主語にWeを使うのは、連れと一緒に帰る場合です。

「英会話例文」
Mary: I had a lovely time tonight, Lucy. Thank you for inviting me.「メアリー：ルーシー、今晩はとても楽しかったわ。招待してくれて、ありがとう。」
Lucy: I'll call you tomorrow, Mary. Take care. 「ルーシー：明日、電話するからね、メアリー。それじゃ、気をつけてね。」

Experience has taught me that .....

「意味」私の経験から言うと、．．．

※直訳すると「経験は私に．．．を教えた」ですね。

知っていると役に立つフレーズだと思います。

「英会話例文」
Experience has taught me that there is one chief reason why some people succeed and others fail. 「私の経験から言うと、どうしてある人たちは成功し、他の人は失敗するのかには、一つの重要な理由がある。」

(I) have to be moving along.; (I) have to move along.

「意味」もう、行かないといけない。もう、帰らないといけない。

※帰らないといけないときや、その場から去りたい、という時に使います．move alongは「移動する」という意味です。

(I) have to move along.の方が、(I) have to be moving along.より、よく使われています。

「英会話例文」
Mary: Bye, now. I have to move along. 「メアリー：さようなら。もう、帰らないといけないわ。」
Bill: See you tomorrow.「ビル：じゃ、また明日ね。」

(It) won't bother me any.; (It) won't bother me at all.

「意味」私はまったく気にしません．私はぜんぜんかまわない。

※相手が何かをしたいと言ってきた時の返答に使います。

未来形なので、この時点では相手はその何かをまだしていないことになります。

「英会話例文」
Tom: Do you mind if I turn on the TV?「トム：テレビをつけてもいいですか？」
Ben: No, it won't bother me at all.「ベン：ええ、まったくかまわないですよ。」

Will do.

「意味」了解です。分かりました。やっておきます。

※相手から何かをするように頼まれたり、指示された場合の返事に使います。I will do it.の略です。

OKと組み合わせて、OK, will do.で使う場合もよくあります。

そこそこ使われるフレーズです。

「英会話例文」
Bill: Can you make a copy of this for me?「ビル：私にこれを一部コピーしてもらえますか？」
John: Will do.「ジョン：了解です。」