a third of ...

「意味」...の3分の1。...の1/3。

※今日の英語、thirdは「三番目」の意味ですが、a thirdはone thirdと同様に「3分の1」の意味で使うことができます。

the thirdであれば、「三番目」ですね。

「英語例文」
I ate a third of the cake.「私はケーキの3分の1を食べました。」

set in motion ...

「意味」...を引き起こす。...を始める。...を動かし始める。...を始動する。

※今日の英語，日常会話での使用頻度は高くはありません。

物事を開始する際に使います。

「英語例文」
The project was set in motion last week.「そのプロジェクトは先週始動した。」

be left high and dry

「意味」見捨てられる。取り残される。

※今日の英語，日常会話でそこそこは使われる表現です。

「困難な状況に取り残される」や「援助や支えがなく見捨てられる」といった意味を持ちます。

語源は、船が潮の引いた干潮時に、海岸や砂地などの「high（高い場所）」で「dry（乾いた状態）」に取り残される状況を描写しています。

「英語例文」
They promised to help, but I was left high and dry.「彼らは助けると約束してくれたのに、私は見捨てられた。」

pay a fortune

「意味」大金を払う。高いお金を支払う。

※今日の英語，日常会話で比較的よく使う表現です。

「財産（fortune）を払う（pay）」というのはずいぶん大げさな感じですが、物やサービスが高額であることを強調したいときにカジュアルに使われます。

「英語例文」
I had to pay a fortune for the concert tickets.「コンサートのチケットに大金を払わなければならなかった。」

face ... head-on

「意味」正面から...に取り組む。...に真正面から向き合う。...に立ち向かう。

※今日の英語，日常会話で比較的よく使う表現です。困難や問題を回避せず、直接対応することを示します。

「英語例文」
We need to face the problem head-on.「私たちはその問題に正面から取り組む必要がある。」

follow in someone's footsteps

「意味」人の例に倣う。人を見習う。人の跡を継ぐ。

※今日の英語，日常会話でそこそこは使う表現です。

これは、「誰かの足跡（footsteps）をたどる」ですが、誰かの生き方やキャリアを手本にして同じ道を歩むという意味です。たとえば、親や師匠など尊敬する人の道を追いかけるときに使います。

「英語例文」
I decided to follow in my father's footsteps and become a doctor.「私は父の跡を継いで医者になることを決意した。」

It's no business of yours.

「意味」それはあなたには関係ない。

※今日の英語，日常会話でそこそこ使われる表現です。

プライバシーに踏み込まれたときや、相手が関与すべきでない話題について話しているときに使われます。ややきつい言い方です。

It's none of your businessと同様の意味です。It's none of your businessの方がIt's no business of yours.よりよく使われています。

「英語例文」
It’s no business of yours who I decide to date. 「私が誰とデートするかは、あなたには関係ないことです。」