hold one's head up high

「意味」毅然と振る舞う。胸を張る。頭を高く上げておく。

※今日の英語，文字通りの意味は「自分の頭を高く上げた状態にしておく」ですが，これで「毅然と振る舞う」という意味で使うことがあります．

「英語例文」
Hold your head up high and face the world. 「胸を張って世間に向き合いなさい。」

※face the worldは「世間に向き合う」という意味です．

not make much of a difference

「意味」大した違いを生まない。（そんなことをしても）大差はない。

※今日の英語，そこそこは使う英語表現．

肯定文のmake much of a differenceであれば，「大きな違いを生み出す」です．

「英語例文」
Your choice doesn't make much of a difference.「あなたの選択は大した違いを生まない。」

not have a care in the world

「意味」悩みがまったくない。何の心配もない。

※今日の英語，けっこう使う英語表現です．

このcareは「心配」や「悩み」の意味で，not ... in the worldは「まったく...ない」という否定を強調する意味合いです．

以下もよく使います．
without a care in the world「まったく悩みがなく」「何の心配もなく」
with no care in the world「まったく悩みがなく」「何の心配もなく」

「英語例文」
They seemed not to have a care in the world, and spent their free time playing games.「彼らは何の心配もないようで、自由時間にゲームをして過ごした。」

have the audacity to ...

「意味」ずうずうしくも...する。厚かましくも...する。大胆にも...する。

※今日の英語，audacityは「大胆さ」，「厚かましさ」の意味で，発音は[ɔːdǽsəti]です．

「英語例文」
He had the audacity to deceive them.「彼は大胆にも彼らを欺いた。」

accept ... at face value; take ... at face value

「意味」...を額面通りに受け取る。...を真に受ける。...を文字通りの意味で解釈する。

※今日の英語，情報や人の発言や行為などに隠された意味を考えずに，そのまま真に受ける，といった意味です．

face valueは「証券などの額面価格」のことですが，この英語表現では比喩的に使われています．

「英語例文」
Don't take everything at face value. Be cautious.「すべてを額面通りに受け取らないで。 気を付けなさい。」

be down on ...

「意味」...を責める。

※今日の英語，そこそこは使う英語表現．

onの後に続く語句によっては異なる意味になります．たとえば
be down on one's knees「ひざまづいている」

「英語例文」
Don't be down on yourself. We know you can do the job.「自分を責めないで。 あなたがその仕事をできることは分かってるから。」

take a backseat to ...

「意味」...より後回しになる。...の二の次になる。優先順位が...より後になる。

※今日の英語，backseatは車の「後部座席」のことで、take a backseatは「後部座席に座る」ということから、比喩的に上記の意味で使います。

「英語例文」
Work takes a backseat to family.「仕事は家族より後回しだ。」