do one's bit (for ...)

「意味」（...に対して）自分の役割を果たす。（...に）貢献する。

※今日の英語，ある仕事や取り組みなどで自分の役割を果たし貢献する，というような意味です．

bitは「少し」や「少量」の意味で使うことが多いですが，ここでは「（仕事や取り組みなどで自分が分担する）部分」の意味です．

「英語例文」
I did my part for my country.「私は祖国のために自分の役割を果たしました。」