※get you downで，「あなた（の気持ち）を下げる」なので，ここから「あなたをがっかりさせる」，「あなたを落ち込ませる」などの意味になります．
それで，何が「あなた」を「がっかりさせる（落ち込ませる）」かというと，someone or somethingです．この部分には，人の名前やhimなどの人称代名詞，itなどが入ります．
さらに，文頭にDon't letが付いているので，「あなたをがっかりさせる（落ち込ませる）ことをsomeone or somethingにさせるな」という意味になるのですが，．．．こんな言い方は日本語では（たぶん）しませんし，適切な日本語に訳すのは困難です．
日本語では，こういう状況では，「someone or somethingのことでがっかりするな」や「someone or somethingのことで落ち込むな」という言い方をするのが普通かなと思います．
「英語例文」
Don't let it get you down. You can do it.「そのことでがっかりするなよ．君はできるさ．」
