※copeは「対処する」なので、How are you coping?は「どのように対処していますか？」が文字通りの意味です。相手が困難な状況やストレスのかかる状況にあると思われる場合に、このフレーズを使うことが多いと思います。
How are you?の代わりに、挨拶で使う場合もありますし、会話の中で、あることに対して、うまくやっているかを尋ねるのに使う場合もあります。
何に対して、あるいは、どういう面で「うまくやっているか」を訊きたい場合は、以下のようにwith...を付けたり、副詞を付けたりします。
How are you coping with the situation?「その状況にうまく対処していますか？」
How are you coping financially?「財政面でうまくやってますか？」
「英会話例文」
Tom: How are you coping?「トム：うまくやってるかい？」
Ben: I'm doing well.「ベン：僕はうまくやってるよ。」
