「意味」お初にお目にかかります．初めまして．ごきげんよう．
※日本の学校では，初めて会った人に対する挨拶として，習うと思います．初対面でなくても，「ごきげんよう」の意味で使う場合もあります．
フォーマル．．．というより，かなり堅苦しく古い言い方です．このため，アメリカでは，特に若いアメリカ人は，このフレーズを使うことはほとんどありません．ただ，全く使わないというわけではありません．たとえば，ビジネスの堅苦しい場などでは使うことがあるかもしれないので，知っておいた方がいいと思います．
How do you do?と相手が言ってきたら，返答も通常はHow do you do?です．
「英会話例文」
Tom: How do you do? 「トム：初めまして．」
Ben: How do you do? How are you?「ベン：初めまして．お元気ですか？」
