「意味」（あなたの説明や言動で）．．．であることを納得した。（あなたの説明や言動で）．．．．ということを確信した．
※「あなたの説明や言動で，私はthat以下のことに納得した（確信した）」，という意味です．今，納得したところだ，という意味で，完了形になっています．
that節なしで，You've convinced me.で使うこともできます．
convinceは「納得させる」や「確信させる」という意味なので，直訳では「あなたは．．．であることを私に納得させた（確信させた）」ですが，日本語では「あなたは私を納得させた（確信させた）」という言い方はあまりしないですね．こういうところに日本語と英語の言い方の違いを感じます．
「英会話例文」
Ben: Okay, you've convinced me that I need to do it.「ベン：分かった．私がそれをする必要があることには納得したよ．」
