「意味」あなたが名前を挙げるどんな．．．でも，頭に浮かぶどんな．．．でも，思いつくどんな．．．でも，
※care to... は「．．．したいと思う」，「．．．することを好む」の意味で，mentionは「話に出す」，「ちょっと言う」，「名前を挙げる」などの意味があります．
ですので，you care to mentionは「あなたが名前を挙げたいと思う」です．それがany ... を修飾しているので，「あなたが名前を挙げたいと思うどんな．．．でも」といった意味になります．
「英会話例文」
We can transport your car to any country you care to mention.「あなたが思いつくどんな国へでも，私たちはあなたの車を輸送できる。」
